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考试科目名称：数学分析
考试科目代码：609
考试形式：笔试
考试时间：180分钟
满分：150分
参考书目：《数学分析》(上、下)(第五版)，华东师范大学数学科学学院编，高等教育出版社，2019年。
一、试卷结构：
1、计算题，共6--7小题，共70分;
2、证明题、论述题，共5—6题，共80分。
二、考试范围：
(1)考查知识点
(一) 实数集与函数
1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;
2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上、下确界，确界原理;
3、函数概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数;
4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
(二) 数列极限
1、数列极限概念;
2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性;
3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。
(三) 函数极限
1、函数极限的概念;
2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性;
3、函数极限存在的条件：归结原则，柯西准则;
4、两个重要极限;
5、无穷小量与无穷大量。
(四) 函数的连续性
1、连续性概念：函数在一点的连续性，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类;
2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质(最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性)，反函数的连续性，一致连续性;
3、初等函数的连续性。
(五)导数与微分
1、导数概念：导数的定义、导函数、导数的几何意义;
2、求导法则：导数的四则运算、反函数的求导法则、复合函数的求导法则、基本求导法则与公式;
3、参变量函数的导数;
4、高阶导数;
5、微分：微分的概念、微分的运算法则、高阶微分、微分的应用。
(六)微分中值定理及其应用
1、拉格朗日定理和函数的单调性：罗尔定理、拉格朗日定理、单调函数;
2、柯西中值定理和不定式极限：柯西中值定理、不定式极限、洛必达法则;
3、泰勒公式;
4、函数的极值与最大(小)值;
5、函数的凸性与拐点;
6、函数图像的讨论;
7、方程的近似解。
(七)实数的完备性
1、关于实数完备性的基本定理：闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理之间的等价性;
2、上极限和下极限。
(八)不定积分
1、不定积分概念与基本积分公式;
2、换元积分法与分部积分法;
3、有理函数和可化为有理函数的不定积分。
(九)定积分
1、定积分的概念：概念的引入、函数可积的必要条件;
2、牛顿-莱布尼兹公式;
3、可积条件：可积的必要条件和充要条件、可积函数类;
4、定积分的性质：定积分的基本性质、积分中值定理;
5、微积分学基本定理·定积分计算(续)：变限积分与原函数的存在性、换元积分与分部积分、泰勒公式的积分型余项;
6、可积性理论补叙：上和与下和的性质、可积的充要条件。
(十)定积分的应用
1、平面图形的面积;
2、由平行截面面积求体积;
3、平面曲线的弧长与曲率;
4、旋转曲面的面积;
5、定积分在物理中的某些应用;
6、定积分的近似计算。
(十一)反常积分
1、反常积分的概念;
2、无穷积分的性质与敛散判别;
3、瑕积分的性质与敛散判别。
(十二)数项级数
1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质;
2、正项级数：正项级数敛散性的一般判别原则，比式判别法和根式判别法，积分判别法，拉贝判别法;
3、一般项级数：交错级数，绝对收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
(十三)函数列与函数项级数
1、一致收敛性;
2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质。
(十四)幂级数
1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质;
2、函数的幂级数展开：泰勒级数、初等函数的幂级数展开式;
3、复变量的指数函数、欧拉公式。
(十五)傅里叶级数
1、傅里叶级数：三角级数、正交函数系、傅里叶级数、收敛定理;
2、以2L为周期的函数的展开式;
3、收敛定理的证明。
(十六)多元函数的极限与连续
1、平面点集与多元函数的概念;
2、二元函数的极限：二元函数的极限、累次极限;
3、二元函数的连续性：概念、有界闭域上连续函数的性质。
(十七)多元函数微分学
1、可微性：可微性与全微分，偏导数，偏导数的几何意义，偏导数与连续性;全微分概念;连续性与可微性，偏导数与可微性;可微性几何意义及应用;
2、复合函数微分法及求导公式;
3、方向导数与梯度;
4、泰勒定理与极值定理。
(十八)隐函数定理及其应用
1、隐函数：隐函数的概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数定理，隐函数求导举例;
2、隐函数组：概念，隐函数组定理，反函数组与坐标变换;
3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线;
4、条件极值。
(十九)含参量积分
1、含参量正常积分;
2、含参量反常积分：一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量反常积分的性质;
3、欧拉积分。
(二十)曲线积分
1、第一型曲线积分：定义和计算;
2、第二型曲线积分：定义和计算、两类曲线积分的联系。
(二十一) 重积分
1、二重积分的概念：平面图形的面积、二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质;
2、直角坐标系下二重积分的计算;
3、格林公式，曲线积分与路线的无关性;
4、二重积分的变量变换，极坐标计算二重积分;
5、三重积分：化三重积分为累次积分，换元法(一般变换，柱面坐标变换，球坐标变换);
6、重积分的应用。
(二十二)曲面积分
1、第一型曲面积分的概念和计算;
2、第二型曲面积分，两类曲面积分的联系;
3、高斯公式与斯托克斯公式。
(二十三)向量函数微分学
1、n维欧氏空间与向量函数;
2、向量函数的微分;
3、反函数定理和隐函数定理。
(2)考查重点
(一) 实数集与函数
实数的性质，上、下确界，确界原理。
(二) 数列极限
极限概念，收敛数列的性质，数列极限存在的条件。
(三) 函数极限
函数极限的概念，函数极限的性质，函数极限存在的条件，两个重要极限。
(四) 函数连续
函数连续的概念，连续函数的性质。
(五)导数与微分
导数概念，求导法则，微分的定义，微分的运算法则。
(六)微分中值定理及其应用
中值定理，不定式极限与洛必达法则，函数的极值、最值，函数凹凸性与拐点。
(七)实数完备性定理
有界性定理、最大(小)值性定理、介值定理的、一致连续性定理。
(八)不定积分
不定积分概念与基本积分公式，换元积分法与分部积分法。
(九)定积分
定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的性质。
(十)定积分的应用
平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，平面曲线的弧长与曲率，旋转曲面的面积。
(十一)反常积分
反常积分的概念，无穷积分的性质与收敛准则，瑕积分的性质与收敛准则。
(十二)数项级数
级数的敛散性，正项级数判别法，交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质。
(十三)函数列与函数项级数
一致收敛性及一致收敛判别法，一致收敛的函数列与函数项级数的性质。
(十四) 幂级数
收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质，函数的幂级数展开与泰勒定理。
(十五)傅里叶级数
三角级数与正交函数系，傅里叶级数。
(十六)多元函数的极限与连续
二元函数的极限，二元函数的连续性概念。
(十七)多元函数微分学
偏导数的概念，偏导数与连续性，全微分概念，连续性与可微性，偏导数与可微性，多元复合函数微分法及求导公式。
(十八)隐函数定理及其应用
隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导，条件极值。
(十九)含参量积分
含参量正常积分，含参量反常积分敛散性及其性质。
(二十)曲线积分
第一型曲线积分的定义和计算，第二型曲线积分的定义和计算，两类曲线积分的联系。
(二十一) 重积分
二重积分的定义及其存在性，二重积分的性质，直角坐标系下二重积分的计算，格林公式，极坐标计算二重积分，化三重积分为累次积分。
(二十二)曲面积分
第一型曲面积分的概念和计算，第二型曲面积分，两类曲面积分的联系，高斯公式与斯托克斯公式。
(二十三)向量函数微分学
n维欧氏空间与向量函数。
原标题：南昌航空大学2025年研究生入学考试自命题考试大纲
文章来源：https://yjs.nchu.edu.cn/zsgz/tzgg0__xwdt/tzgg4/zsgg/content_174134
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