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考试科目：高等代数
考试形式：笔试(闭卷)
考试时间：180分钟
考试总分：150分
一、总体要求
对高等代数基本概念把握准确，高等代数课程中的基本理论和基本方法，考查综合运用所学知识解决问题的能力。
二、内容
1. 预备知识
(1) 连加符号与连乘符号;
(2) 数域的基本概念和基本性质;
(3) 集合的笛卡尔积与集合上的等价关系, 基本的代数系统: 群.
2. 矩阵
(1) 矩阵的基本概念, 常见的特殊矩阵;
(2) 矩阵的加法、数乘、转置、乘法和求逆运算;
(3) 逆矩阵的概念、性质及其若干等价刻画, 逆矩阵计算的基本原理;
(4) 初等变换与初等矩阵的关系, 消元法求解方程组的方法, 初等变换化矩阵为行简化阶梯形的方法;
(5) 矩阵的常见分块运算与性质.
3. 行列式
(1) 行列式的递归定义, 行列式定义的几何意义;
(2) 行列式的各种性质;
(3) 行列式的计算;
(4) 行列式展开的拉普拉斯定理;
(5) 伴随矩阵的概念、性质与计算, 克兰姆法则求解非齐次线性方程组;
(6) 矩阵秩的概念及其相关性质, 矩阵的相抵标准形, 分块矩阵初等变换证明矩阵秩等式与不等式.
4. n维向量空间
(1) 数域上n维向量空间中的基本概念;
(2) 向量组的线性组合, 线性表出与线性相关性等基本概念、性质与相关定理;
(3) 向量组的秩与极大无关组的基本概念;
(4) 一般线性方程组解的结构, 线性方程组求解的基本方法.
5.多项式
(1) 多项式的基本概念, 多项式的带余除法与综合除法;
(2) 因式、公因式、最大公因式与最小公倍式的概念, 最大公因式的基本性质及其计算;
(3) 数域F上不可约多项式的基本概念、性质与定理;
(4) 实系数与复系数多项式的因式分解定理;
(5) 本原多项式的概念和性质, 有理数域上多项式可约性与整数环上多项式可约性的关系;
(6) 多项式根与系数关系的韦达定理, 有理系数多项式的有理根判别方法, 有理数域上不可约多项式的判别方法.
6. 线性空间
(1) F-空间的各种基本概念, 如线性运算、维数、基与坐标、基变换与子空间;
(2) 子空间的交、和的概念、性质与定理;
(3) 两个子空间直和的概念, 两个子空间做成直和的若干等价刻画, 多个子空间直和的概念与刻画;
(4) 线性空间同构的概念与性质.
7. 线性变换
(1) 线性映射、线性变换的概念, 性质.
(2) 对给定的线性空间, 经由基底线性变换与矩阵的一一对应以及运算上面的对应. 能运用这种对应关系来转化问题.
(3) 线性变换的特征值, 特征向量; 矩阵的特征值, 特征向量. 线性变换与矩阵的特征值特征向量之间的联系. 特征值和特征向量的计算及相关证明.
(4) 线性变换(矩阵)特征值, 特征向量与矩阵能否相似对角化的关系.
(5) 线性变换的值域和核的概念, 不变子空间的概念及其与矩阵化简的关系.
(6) 对偶空间的定义及性质.
8. Jordan标准形与λ-矩阵
(1) 矩阵最小多项式的概念, 与特征多项式和零化多项式的紧密关联, 最小多项式与相似对角化的关系.
(2) 幂零与半单线性变换的概念和性质, 中国剩余定理及其计算.
(3) 矩阵的Jordan-Chevalley分解, 循环不变子空间的概念.
(4) λ-矩阵的概念和性质, 相抵标准形的存在唯一性, 相抵标准形的计算, 不变因子组与各阶行列式因子的概念与关联.
(5) λ-矩阵相抵与矩阵相似的关系, 矩阵的有理标准形的概念和计算.
(6) 初等因子组的概念和性质, Jordan标准形的理论、计算及其应用.
9. 欧氏空间
(1) 欧氏空间的定义及性质, 欧氏空间同构的意义和结论, QR分解与LU分解;
(2) 欧氏空间中内积, 长度, 夹角, 在给定基下度量矩阵的概念, Cauchy不等式的证明及应用;
(3) 标准正交基的相关概念和性质, Scmidt正交化方法
(4) 正交变换, 正交矩阵以及标准正交基之间的关系与联系.
(5) 实对称矩阵正交对角化的理论, 计算以及应用.
10. 二次型与双线性函数
(1) 二次型及其矩阵表示, 合同变换与合同矩阵, 二次型的秩等概念
(2) 用配方法化二次型为标准形, 惯性定理, 标准形和规范形, 二次型及其矩阵的正定性判定与计算.
(3) 用正交替换化二次型为标准形的计算.
(4) 双线性函数的定义, 概念及其性质.
三、题型及分值比例
填空题: (20%)
计算题: (40%)
证明题: (40%)
原标题：电子科技大学2025年硕士研究生招生考试初试科目高等代数参考书目和考试大纲的公告
文章来源：https://www.math.uestc.edu.cn/info/1029/8658.htm
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