2019年华侨大学硕士研究生招生考试
初试自命题科目考试大纲
招生学院： 数学科学学院 招生专业： 数学 科目名称：高等代数
一、考试形式与试卷结构
(一)试卷满分值及考试时间
本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
(二)答题方式
答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应的位置上。
(三)试卷内容结构
考试内容主要包括矩阵理论，包含行列式、矩阵的相抵、相似、合同分类(30%);线性方程组(10%);线性空间(15%);线性映射(25%);多项式(20%)。
(四)试卷题型结构
1.计算题(60分)，共4-6道;
2.证明题(90分)，共5-7道。
二、考查目标
课程考试的目的在于测试考生对于《高等代数》的基本概念、基本知识、基础方法的掌握情况以及综合运用(线性)代数技巧研究代数对象的结构和表示的能力。
三、考查范围或考试内容概要
第一部分 矩阵理论
1. 矩阵的行列式
行列式的定义与计算;拉普拉斯(Laplace)定理;范德蒙德行列式
2. 矩阵的运算
矩阵的乘法的基本性质，包括乘法与迹、转置、行列式的关系;可逆矩阵的性质与计算
3. 矩阵的相抵分类
初等变换;矩阵秩的定义及性质;矩阵相抵的充要条件
4. 矩阵的相似分类
矩阵的特征值与特征向量;相似的不变量(包含行列式因子、不变因子、初等因子组);特征多项式与极小多项式;矩阵可对角化;正交矩阵与正交相似;斯密特(Schmidt)正交化过程;计算复矩阵的约当(Jordan)标准形
5. 矩阵的合同分类
二次型的标准形和规范形;实二次型的惯性定理;正定矩阵
第二部分 线性方程组
1. 向量组
(列)向量的线性关系;向量组的极大线性无关组与秩
2. 线性方程组
高斯(Gauss)消元法;线性方程组解的结构;克莱姆(Gram)法则
第三部分 线性空间
1. 一般线性空间
线性空间的公理定义;线性空间的基与维数;线性空间的同构;子空间的维数定理;子空间的直和
2. 具有几何结构的线性空间
欧式空间;柯西(Cauchy)不等式;斯密特(Schmidt)正交化与标准正交基
第四部分 线性映射
1. 线性映射与矩阵的关系
线性映射的基本性质;线性映射在不同基下的(表示)矩阵;双线性映射的度量矩阵
2. 线性映射的结构
线性映射的维数定理;线性变换的不变子空间
3. 线性映射与矩阵相似分类的进一步联系
Jordan 标准形对应的不变子空间分解(根子空间分解和循环子空间分解);Jordan-Chevalley分解定理
第五部分 多项式
1. 多项式的基本性质
多项式的度;带余除法;最大公因式;互素
2. 多项式的结构
分解定理;重因式与重根;多项式函数
3. 不可约多项式
代数基本定理;实数域上的不可约多项式;本原多项式的分解定理;艾森斯坦(Eisenstein)判别法;整系数多项式的有理根
四、参考教材或主要参考书：
《高等代数》，林亚南 编著，高等教育出版社，2013年.
